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A importância da Divulgação Científica   A Cultura Integral do Indivíduo   O Matemático   O Problema da Cultura   Conceitos Fundamentais da Matemática
 

Conceitos Fundamentais da Matemática

Esta obra encontra-sedividida em três partes: Números, Funções e Continuidade.
Escolhemos aqui salientar alguns aspectos da abordagem que este matemático faz da Ciência e dar ênfase a alguns conceitos da Matemática que Caraça tão bem descreve na Parte 1, Capítulo I, de forma a demonstrar a clareza e simplicidade presentes no seu discurso.

A criação científica: Devemos procurar “acompanhá-la no seu desenvolvimento progressivo, assistir à maneira como foi elaborada (…) descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições.”

A Ciência e a vida social: É necessário ver “toda a influência que a vida social exerce sobre a criação da Ciência. A Ciência, encarada assim, aparece-nos como um organismo vivo, impregnado de condição humana, com as suas forças e fraquezas e subordinado às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação; aparece-nos, enfim, como um grande capítulo da vida humana social.”

Os problemas próprios da matemática e a relação com a vida real: “Sem dúvida, a Matemática possui problemas próprios, que não têm ligação imediata com os outros problemas da vida social. Mas não há dúvida também de que os seus fundamentos mergulham tanto como os de outro qualquer ramo da Ciência, na vida real; uns e outros entroncam na mesma madre.”

A contagem, operação elementar da vida individual e social: “…à medida que a vida social vai aumentando de intensidade, isto é, que se tornam mais desenvolvidas as relações dos homens uns com os outros, a contagem impõe-se como uma necessidade cada vez mais importante e mais urgente.”

O problema da contagem: “Como resolveram os homens o problema da necessidade da contagem? A resposta a esta pergunta é a seguinte: - pela criação dos números naturais.”

Pensamento e experiência: “a ideia de número natural não é um produto puro do pensamento, independentemente da experiência; os homens não adquiriram primeiro os números naturais para depois contarem; os números naturais foram-se formando lentamente pela prática diária de contagens. A imagem do homem, criando de uma maneira completa a ideia de número, para depois a aplicar à prática da contagem, é cómoda mas falsa.”

O zero não é natural: “Ao primitivo, de hoje ou dos tempos pré-históricos, não ocorre, porém, o considerar o zero como um número; por isso, não chamaremos ao zero um número natural e à sucessão 0, 1, 2, 3, 4, … chamaremos sucessão dos números inteiros. ”

Operação mental e realidade prática: “…da realidade prática, tirei a ideia dos primeiros números [da sucessão dos números inteiros]e a da operação elementar de passagem de um ao seguinte, agora, vou tirar todas as consequências dessa ideia e dessa operação; o meu pensamento não vê barreira para aplicação da operação elementar; por outras palavras, aceita, não pode deixar de aceitar, a possibilidade de repetição ilimitada do acto mental – juntar uma unidade. ”

Base do conceito de infinito:a possibilidade de repetição ilimitada do acto mental.

O infinito no conjunto dos números inteiros: “O conjunto dos números inteiros é infinito, ou por outras palavras, tem uma infinidade de elementos.”

Inclusão da Ideia da operação: “A ideia adicionar ou somar está já incluída na própria noção de número natural – o que é a operação elementar de passagem de um número ao seguinte, senão a operação de somar uma quantidade a um número? Pois bem, somar a um número a, dado, outro número b, é efectuar a partir de a, b passagens sucessivas pela operação elementar.”; “A multiplicação define-se como a soma de parcelas iguais.” e “A potência define-se como um produto de factores iguais.”

Os papéis dos números nas operações: “… o adicionando representa um papel passivo; o adicionador, um papel activo.”; “O multiplicando desempenha um papel passivo; o multiplicador, um papel activo.”; “A base desempenha um papel passivo, o expoente um papel activo.”